Szanse wygrania w totolotku

(Duży Lotek i Multi Lotek)

K. M. Borkowski

Duży Lotek i jego odmiany

Szanse wyglądałyby podobnie, gdyby w rozważanej grze losowano L = 1 liczbę, a gracz skreślałby dwie (K =2). W takiej wersji gry bowiem możliwa liczba zrobienia różnych zakładów wyniosłaby 49·48/2 = 49·24 (gdyż przy każdej jednej skreślonej liczbie mamy jeszcze 48 możliwości skreślenia drugiej, jednak co druga z wszystkich tego rodzaju kombinacji skreśleń będzie taka sama, ponieważ np. skreślenie najpierw 1 a potem 2 nie różni się od skreślenia najpierw 2 a potem 1). Nietrudno zauważyć, że wśród tych 49·24 możliwych typowań musi być 48 trafnych, czyli szansa wynosi 48:(49·24) = 1:24,5. Ta równość szans wyraża ciekawy fakt, że w rachunku prawdopodobieństwa liczby L i K możemy traktować zamiennie, tzn. zamiast maszyny losującej mógłby występować świadomie wybierający numery gracz, a w charakterze gracza — maszyna skreślająca losowo. Statystycznie rzecz traktując, efekty końcowe (częstości trafień) w obu wersjach gry byłyby takie same.

Z działu matematyki zwanego kombinatoryką wiadomo, że w ogólności ze zbioru N różnych obiektów (numerów w grze) można złożyć następującą liczbę różnych podzbiorów (kombinacji) zawierających K różnych obiektów (liczb skreślanych w grze):

C(N,K) = ( N K ) = N! (N – K)! K! ,

(1)

gdzie symbol n! (n-silnia) jest skrótowym zapisem wyrażenia n·(n–1)·(n–2)·...·2·1, przy czym 1! = 0! = 1.

W przytoczonym prostym przykładzie mieliśmy 49 kombinacji po jednej liczbie, co jest oczywiście równe C(49,1) = 49!/[(49 – 1)!·1!] = 49. Jeśli jednak losuje się 6 liczb, istnieje już dużo więcej możliwych wyników: C(49,6) = 49!/(43!·6!) = 49·48·47·46·45·44/(6·5·4·3·2·1) = 13983816. Gdy w tym przypadku gracz typuje 6 liczb, może to zrobić także na tyle sposobów, tj. C(49,6). Ponieważ wszystkie kombinacje są różne, wśród nich tylko jedna może być pomyślna [P(49,6,6) = 1], zatem szansa trafienia wynosi P(49,6,6):C(49,6) czyli 1:13983816. To prawdopodobieństwo jest zgrubsza tak małe, jak to, że moneta rzucona 24 razy spadnie 24 razy z rzędu tak samo, tj. tylko reszką albo tylko orzełkiem do góry (ściślej, dla monety prawdopodobieństwo to wynosi: 1:2²⁴ = 1:16777216).

Szanse trafienia '5' będą większe proporcjonalnie do liczby możliwych sposobów trafienia piątki czyli do liczby kombinacji pięciu trafień w sześciu wylosowanych, C(6,5) = 6!/(1!·5!) = 6. Każdej z tych kombinacji jedno 'pudło' wśród liczb niewylosowanych może towarzyszyć na C(49–6,1) = 43!/(42!·1!) = 43 sposoby. Pięć trafnych można więc uzyskać w 6 skreśleniach na 6 sposobów, ale każdy z tych sposobów może wystąpić przy jednym z 43 niewylosowanych numerów, na który padnie nasz nietrafny typ. Razem jest zatem P(49,6,5) = C(6,5)·C(43,1) = 6·43 = 258 sprzyjających kombinacji trafienia piątki, co daje prawdopodobieństwo 1:13983816/258 trafienia '5' w totolotka (Dużego Lotka). Analogicznym rozumowaniem możemy wyznaczyć liczbę sprzyjających kombinacji dla dowolnej liczby trafień, j:

P(49,6,j) = C(6,j)·C(43,6–j)

.

Wszystkie możliwości trafień w Dużym Lotku i kilku jego odmianach zawiera ta tabelka:

Tab. 1: Liczba gier czy zakładów  I(j), na jaką przypada średnio jedna wygrana z j trafieniami

j                     6       5      4      3      2      1        Gra

C(49,6)/P(49,6,j) 13983816  54201 1032,4  56,656  7,5541 2,4212 Duży Lotek  
C(35,5)/P(35,5,j)     —    324632 2164,2  74,628  7,9959 2,3691 Mały Lotek  
C(42,5)/P(42,5,j)     —    850668 4598,2 127,728 10,9481 2,5760 Express L.  
C(45,5)/P(45,5,j)     —   1221759 6108,8 156,636 12,3660 2,6737 Zakł. Specj.
C(45,4)/P(45,4,j)     —      —    148995 908,506 30,2835 3,4943 Twój Szczęś-
Wygrana stopnia (6 – j)   5363820 153252 32706,2 934,463 36,040 liwy Numerek

Prawdopodobieństwo przegranej Dla gracza może być również interesująca odpowiedź na pytanie jak często może się spodziewać zera trafień lub braku wygranej. Liczbę kombinacji odpowiadających zeru trafień można łatwo obliczyć jako C(N–K,K), ale zastosujemy procedurę słuszną w obu przypadkach. Mianowicie, należy zsumować prawdopodobieństwa zdarzeń składających się na sytuację przeciwną [tzn. np. w oparciu o Tab. 1 zsumować wielkości 1/I(j) dla wszystkich j, przy których otrzymuje się nagrody] i sumę odjąć od jedności. Np., w Dużym Lotku suma odwrotności I od j = 1 do j = 6 wynosi 0,564035 czyli 1 – 1/2,2938 = 1 – C(43,6)/13983816, co znaczy że w tej grze obędziemy się bez żadnego trafienia średnio tylko raz na ok. 2,3 zakłady (lub 10 razy w 23 grach), ale jakąś wygraną (j od 3 do 6) zdobędziemy jedynie raz na ok. 57 zagrań. Podobny rachunek dla Ekspress Lotka wskazuje, że całkowicie spudłujemy tu raz na C(42,5)/C(37,5) = 850668/435897 = 1,95 gier, zaś przegrywamy aż 123 razy na ok. 124 niezależne zagrania. Jak widać, w obu tych grach o częstości przegrywania czy wygrywania decyduje zasadniczo częstość trafiania w trójkę, bo wyższe wygrane trafiają się znacznie rzadziej.

Uwagi do Tab. 1: Dla piątki premiowanej, występującej w niektórych grach typu 6/49, prawdopodobieństwo trafienia obliczamy jako 6:13983816 = 1:2330636, gdyż przy pięciu normalnych trafnych numer premiowy może przypaść na każdą z sześciu typowanych liczb. Inaczej mówiąc, wsród C(49,6) kombinacji możliwych do wytypowania istnieje tylko 6 pomyślnych, na jakie może paść piątka premiowana. W obecności numeru premiowego nieco inaczej wyglądają też szanse na trafienie zwykłej piątki, która wygrywa teraz średnio raz na 13983816/(42·6) = 55491,3 prób. Taką wartość Eureka, 'największy i najlepszy' krajowy portal lotto (tak się reklamuje, ale jak wynika z dalszej analizy, jest to raczej największy naciągacz), podaje błędnie jako szansę trafienia zwykłej piątki w Dużym Lotku.
W Twoim Szczęśliwym Numerku losuje się cztery liczby z 45 i osobno jedną z 36. W tabelce (Tab. 1) w pierwszym wierszu dla tej gry podane są tylko szanse trafienia numerów z pierwszej części losowania. Liczby dla j = 4 i j = 3 wyrażają więc w przybliżeniu szansę wygranych II i IV stopnia, odpowiednio. Ścisłe wartości otrzymamy mnożąc te prawdopodobieństwa przez prawdopodobieństwo nietrafienia w wylosowaną pojedynczą liczbę w drugim losowaniu, które wynosi 35:36 czyli 1/(36/35). Stąd dokładniejsze oceny szans na nagrody II i IV stopnia kształtują się jak jeden do 148995·36/35 = 153252 i do 908,506·36/35 = 934,463, odpowiednio. W drugim losowaniu prawdopodobieństwo trafienia wynosi 1:36, co też jest bliskie szansie wygranej V stopnia, ale poprawny stosunek otrzymamy mnożąc je przez łączne prawdopodobieństwo, że w pierwszym losowaniu nie będzie ani 4-ki, ani 3-ki, czyli przez 1 – (1/148995 + 1/908,506) = 1/1,0011086. Tak więc szanse na wygraną V stopnia mają się jak 1:(36·1,0011086) = 1:36,04. Prawdopodobieństwo wygranej I i III stopnia (4+1 i 3+1 trafień) jest 35 razy mniejsze od prawdopodobieństw dla wygranych II i IV stopnia (czyli 36 razy gorzej niż podpowiadają liczby C(45,4)/P(45,4,j) dla j = 4 i j = 3 w tabelce), konkretnie: 1 do 5363820 i do 32706, odpowiednio.

Teoria a praktyka
Czy obliczone w powyższy sposób prawdopodobieństwa albo szanse rzeczywiście mają coś wspólnego z praktyką codzienną? Poniższe przykłady ad hoc nie mogą pretendować do stanowienia solidnych argumentów, ze względu na wyrywkowość, ale już z nich widać, że w tym wypadku względnie prosta matematyka (kombinatoryka) ma dużo do powiedzenia.

Tab. 2: Przykłady ogólnokrajowych wyników gier w Dużego Lotka.

j	Losowanie z 7.01.2004 (1 17 19 29 35 40)			Losowanie z 14.01.2004 (8 19 30 31 37 43)			31.12.2003 – 14.01.2004 (5 losowań)
6 5 4 3 R-m:	2 351 20127 372701	1,5 390 20453 372701 21115748	3317563,50 4508,30 103,10 10,00 14019644	0 106 6511 126878	0,5 133 6963 126878 7188400	0 5653,20 142,50 10,00 2795836	3 1172 59333 1091933	4,4 1141 59923 1091933 61864556	2680168,93 3941,50 101,40 10,00 29595800

Z pięciu kolejnych losowań na przełomie lat 2003 i 2004 (takimi tylko wynikami dysponowała jedna z toruńskich kolektur, którą odwiedziłem 17 stycznia 2004 r.) w Tabeli 2 widnieją jedynie wyniki z największą i najmniejszą liczbą wygranych trójek oraz wartości zbiorcze wszystkich pięciu losowań. W wierszu 'R-m:' kolorem zielonym zaznaczono ocenę liczby zakładów jako liczbę trójek (j = 3) pomnożoną przez oczekiwaną częstość trafiania trójki [I(3) z Tab. 1], 56,656. Przykładowo, 21115748 to zaokrąglone 372701·56,656. Z tej oceny zostały z kolei wyliczone spodziewane liczby wygranych pierwszego, drugiego i trzeciego stopnia (tj. dla j równego 6, 5 i 4) przez podzielenie jej przez odpowiednie częstości I(j) z Tabeli 1. Również te obliczenia, zamieszczone w Tabeli 2 w środkowej kolumnie danego losowania, zostały wyróżnione kolorem zielonym.

Warto zwrócić uwagę na zgodność liczby spodziewanych wygranych (kolor zielony) z faktycznie wygranymi (w kolumnie z lewej strony tych pierwszych), która jest lepsza przy większych częstościach (przy 4-kach błąd wynosi tylko kilka procent, znacznie lepiej niż dla wygranych wyższego stopnia) i większej statystyce (liczbie zakładów). W przypadku statystyki sumarycznej z pięciu zakładów ocena nawet liczby piątek różni się już zaledwie o ok. 3 % od wartości rzeczywistej. Niewątpliwie więc dużo, dużo lepszej zgodności moglibyśmy oczekiwać w analizach statystyk np. z całego roku.

Drugi ważny wniosek, obok zadowalającej zgodności naszej predykcji z wynikami gier, dotyczy sumy pieniędzy przeznaczanych na wypłaty nagród. Obliczona tutaj z sumy iloczynów faktycznej liczby wygranych i odpowiedniej wysokości nagrody (podanych z prawej strony kolumny 'zielonej'), wynosi w przybliżeniu 50 % wpłat graczy (wpłaty te sprowadzają się do 'zielonej' liczby złotówek podanej w wierszu 'R-m:' przyjmując, że wpływ z jednego zakładu to 1 zł).

Gry systemem
W Dużym Lotku i Express Lotku istnieje możliwość robienia zakładów systemowych. Zakłady takie dają graczowi swobodę skreślenia dodatkowych liczb ponad 6 i 5 — aż do 12-tu. Zauważamy od razu, że np. skreślenie 7-mej liczby w jednym zakładzie w Dużym Lotku jest równoważne C(7,6) = 7 zakładom zwykłym, w których występuje tylko te 7 liczb w różnych kombinacjach po 6 liczb. W ogólności, jeśli skreślamy dodatkowo k liczb w zakładzie gry z losowaniem K liczb, to jest to równoważne złożeniu C(K+k,K) zakładów zwykłych, w których wykorzystaliśmy wszystkie kombinacje po K liczb z obranego zestawu K + k liczb. Tak więc proporcjonalnie do tej liczby C(K+k,K) rosną nasze szanse wygrania najwyższej nagrody (ale również w takiej samej proporcji rośnie opłata za jeden zakład).

Mówi się, że dodatkową korzyścią gry systemem jest to, że jeśli szczęście nam dopisze i uzyskamy wygraną pewnego stopnia, to automatycznie mamy zapewnione przynajmniej kilka wygranych niższego stopnia (lub stopni, oczywiście, o ile taki czy takie istnieją). Dzieje sie tak z tej prostej racji, że systemowe zakłady gwarantują wszystkie możliwe kombinacje skreślanych liczb po K liczb. Nietrudno zauważyć, że zakład K + k skreślanych liczb zawiera C(K+k–M,K–M) kombinacji M trafionych liczb. Np., jeśli skreślając w Dużym Lotku 12 liczb [co odpowiada C(12,6) = 924 zakładom zwykłym] trafimy w trójkę, to wystąpi ona w tych C(12,6) kombinacjach C(12–3,6–3) = 84 razy. Szczegółowe tabele takich i innych wielokrotności udostępniają kolektury. Jednakże za mówieniem w tym kontekście tylko o 'dodatkowej korzyści' kryje się także małe oszustwo, o ile nie wyjawi się grającemu, że ta korzyść łączy się z wymierną stratą na szansach. Wprawdzie maleńkie (dotyczące więc naprawdę nielicznych graczy) prawdopodobieństwo trafienia K numerów rośnie, jak pisaliśmy, proporcjonalnie do ceny zakładu, ale nie dotyczy to wygranych niższych stopni, gdyż np. każda trójka w zakładzie 12-skreśleniowym zawsze występuje aż 84 razy, co musimy interpretować jako tyleżkrotne zmniejszenie szansy jej uzyskania (w stosunku do przypadku, gdy składamy równoważną liczbę 924 zakładów normalnych, w których trójki nie powtarzają się). Że nie kryje się za tym rozumowaniem żadna sztuczka przekonuje następujący prosty przykład, w którym obliczymy szanse wprost.

Powiedzmy, że składamy w kolekturze dwa zakłady po sześć skreśleń różniące się tylko jedną liczbą (pięć skreśleń takich samych w obu zakładach, a szóste różne). Szóstki w obu zakładach są różne, mamy zatem dwa pomyślne zdarzenia zamiast jednego (jak w jednym zakładzie), więc i szanse trafienia szóstki są dwukrotnie wyższe. Piątkę w sześciu skreślonych liczbach jednego zakładu można trafić/wybrać na C(6,5) = 6 sposobów; pomyślnych zdarzeń jest tu zatem 6. W drugim zakładzie naszego przykładu, na sześć możliwych piątek w pięciu pojawi się nowa liczba, ale szósta kombinacja będzie identyczna jak w pierwszym zakładzie, czyli pomyślnych różnych zdarzeń w tych dwóch zakładach traktowanych łącznie jest 6 + (6 – 1) = 11. Prawdopodobieństwo trafienia piątki rośnie więc w tym przypadku nie dwukrotnie lecz mniej, bo o czynnik 11/6 = 1,833... czyli o ok. 8 % gorzej niż w grze dwoma niezależnymi zakładami. Rozpisując explicite wszystkie możliwości, każdy może sprawdzić, że straty szans są stoniowo większe dla niższych stopni wygranych. I tak, czwórkę możemy trafić na C(6,4) = 15 sposobów, ale w drugim zakładzie powtórzy się już C(5,4) = 5 kombinacji z pierwszego zakładu, co oznacza, że sprzyjających zdarzeń jest 15 + (15 – 5) = 25, czyli o czynnik 25/30 = 0,833... (tj. 17 %) gorzej niż dla dwóch niezależnych zakładów. I wreszcie, dla trójek będziemy mieli C(6,3) = 20 kombinacji, ale powtórzy się C(5,3) = 10, tzn. stracimy 10/(20 + 20)·100 % = 25 % szanas.

Tego rodzaju rozumowania prowadzą do wniosku, że te wielokrotne wygrane niższego stopnia w grach systemowych w ogóle nie są korzyścią, lecz wyrażają fakt, że gracz w istocie składa odpowiednią wielokrotność jednakowych zakładów określonego typu, a zatem proporcjonalnie do tego traci na szansach. Tak więc mówienie o korzyści jest równoważne twierdzeniu, że podwyższenie stawki (zwielokrotnienie opłaty za zakład) jest korzystne. Oczywiście nie jest korzystne, gdyż jak już wiemy gracze na totolotku praktycznie zawsze tracą ze swoich opłat za grę około 50 % (60 % jeśli uwzględnimy dodatkowe opłaty na cele kultury; pomijamy tu fakt, że wyższe wygrane obłożone są ponadto podatkiem), zaś podwyższanie stawki nie zwiększa prawdopodobieństwa wygranej, a więc musi prowadzić do wprost proporcjonalnie podwyższonych strat grającego.

Dalsze dane do analizy szansy uzyskania j trafień w systemach Dużego Lotka przedstawia poniższa tabela, w której podano częstotości trafień przy skreślaniu na jednym kuponie K liczb (zamiast normalnych sześciu). Poniżej tych wierszy podajemy (odróżnione kolorem niebieskim) tak wyliczone częstości pomnożone przez x = C(K,6) odpowiadające krotności zakładów zwykłych na jeden systemowy. Te wartości są pewną miarą naszej szansy uzyskania określonej liczby trafień, j, w grze systemem.

Tab. 3: Częstości występowania przynajmniej jednej wygranej z j trafieniami
(zwykle takie trafienia oznaczają jednak wielokrotną wygraną)
w grach systemem w Dużym Lotku

 K   x  j ——> 6       5          4         3         2         1

 6   1 13983816  54200,8359  1032,3969   56,6559    7,5541    2,4212

 7      1997688  15854,6670   464,0390   34,8029    5,9492    2,3484
 7   7 13983816 110982,6720  3248,2732  243,6205   41,6445   16,4386

 8       499422   6090,5122   243,6205   23,4250    4,9316    2,3325
 8  28 13983816 170534,3440  6821,3735  655,9013  138,0845   65,3102

 9       166474   2774,5667   142,2855   16,8496    4,2503    2,3613
 9  84 13983816 233063,5940 11951,9805 1415,3661  357,0292  198,3496

10     66589,60   1422,8547    89,8645   12,7510    3,7781    2,4288
10 210 13983816 298799,5000 18871,5469 2677,7195  793,3984  510,0418

11        30268    796,5263    60,2777   10,0463    3,4444    2,5327
11 462 13983816 367995,1560 27848,2832 4641,3804 1591,3304 1170,0958

12        15134    477,1982    42,4176    8,1805    3,2081    2,6734
12 924 13983816 440931,1560 39193,8789 7558,8188 2964,2429 2470,2024

Jak stąd widać, np. trójka w grze systemowej z 12 skreśleniami trafia się średnio raz na 8,1805 gier, co odpowiada 924·8,1805 = 7558,8188 zakładom prostym i można porównać z przypadkiem zwykłej gry, gdzie ta sama trójka trafia się co ok. 57 zakładów. Wiemy jednak, że w tej grze systemowej zdarzenia nie są niezależne i dlatego jeśli padnie jakaś wygrana, to bywa ich wiecej lub towarzyszą jej wygrane niższego stopnia. W przypadku najniższej wygranej, trójki, będzie ich, jak wcześniej zauważyliśmy, od razu 84, tzn. średnio trójkę trafiamy co 7558,8188/84 = 89,9859 zakładów zwykłych. Zatem w tym przypadku średnie częstości zmalały nie tak drastycznie jak możnaby wnosić z tabeli, ale jednak o blisko 60 %: z jednego trafienia na 57 gier (zakładów) do jednego na 90. Opierając się na wcześniejszej dyskusji, możemy założyć, że w innych przypadkach gier systemowych Dużego Lotka, dla mniejszej liczby skreśleń i dla wyższych wygranych, straty na szansach są mniejsze niż te 60 % częstości (co odpowiada ok. 37 % prawdopodobieństwa). Jeśli czas pozwoli, w przyszłości wrócę jeszcze do tej ciekawej analizy.

Podsumowując możemy stwierdzić, że gry systemowe są czymś pośrednim pomiędzy zwykłą grą i grą z podwyższoną stawką. O ile decydując się na grę z wyższą stawką całkowicie rezygnujemy z poprawy szans trafienia licząc w zamian na proporcjonalnie do stawki wyższe wygrane, o tyle gry systemowe poprawiają szanse trafienia, ale w mniejszym stopniu niż w przypadku składania równoważnej liczby zakładów niezależnych od siebie.

Multi Lotek

Ostatecznie, możemy sformułować prawdopodobieństwo uzyskania j trafnych numerów przy skreślaniu K numerów w Multi Lotku jako P(80,K,j):C(80,K) czyli

jeden do   C(80,K) C(60,K – j)·C(20,j) .

(2)

Jeśli kolektura płaci nam za daną wygraną sumę W (np. w złotych), to w wielu grach możemy oczekiwać średniej wygranej w wysokości W/I. Wysokość wygranej W w stosunku do wniesionej stawki w Multi Lotku jest stała i przedstawia się tak jak podano w poniższej tabeli, w której 'x' oznacza pomnożenie przez stawkę (obieraną przez grającego). Zwróćmy uwagę, że z naszego punktu widzenia owo 'x' nie ma znaczenia, gdyż np. podwojenie stawki (x = 2) przez gracza jest równoważne złożeniu w kolekturze dwóch identycznych zakładów i, chociaż oczywiście wszystkie ewentualne wygrane wystąpią u niego podwójnie, nie zmienia to nijak szans tego gracza względem innego, który złożył jeden zakład za podstawową stawkę, natomiast ktoś, kto złoży dwa różne zakłady takiego samego rodzaju (choćby różniły się tylko jednym numerem) ma dwukrotnie wyższe od tamtych dwóch graczy prawdopodobieństwo zdobycia najwyższej wygranej (wszystkie skreślenia trafne).

Jakiego zysku z wygranych poszczególnych stopni możemy oczekiwać w praktyce. Spodziewane średnie wygrane zawiera ta sama tabela w postaci liczb wyróżnionych kolorem zielonym. Każda z tych liczb jest ilorazem dwóch liczb nad nią stojących, czyli wygranej W i częstości wygrywania oznaczonej wcześniej przez nas przez I, np. 0,0112 = 100000/8911711 dla przypadku j = 10 trafień z K = 10 typowanych liczb. Wymieniona konkretna liczba 0,0112 mówi, że osoby typujące 10 numerów mogą zasadnie liczyć na odzyskanie drogą wygranych najwyższego stopnia (10 trafnych) ok. 1/100 pieniędzy wniesionych przez siebie do gry. Gracz zwiększający stawkę o czynnik x, efektywnie robi tylko więcej (x) jednakowych zakładów, dlatego tabela ta pozostaje ważna również dla niego (formalnie powinniśmy postawić x w tabeli przy wszystkich 'zielonych' liczbach; pominęliśmy ten znak jedynie dla oszczędności miejsca).

Tab. 4: Spodziewane częstości trafień, I, wysokości wygranych, W, oraz (od)zysków graczy, W/I.
U spodu tabeli podano też częstości występowania zera trafień, wiersz '0,'
oraz częstości wygrywania i przegrywania, wiersze 'I(W)' i 'I(P)'

 j  K-> 10      9      8      7      6      5      4      3      2      1

10  8911711           <——  I    liczba gier na jedno wygranie
    100000x           <——  W    wysokość wygranej [zł]
     0,0112           <——  W/I  średni zysk gracza z 1 zakładu [zł]
 9 163381,4 1380688
      5000x  24000x
     0,0306  0,0174
 8 7384,469 30681,9 230115
       260x   1000x 10000x
     0,0352  0,0326 0,0435
 7 620,6773 1690,11 6232,3  40979
        70x    150x   300x  2500x
     0,1128  0,0888 0,0481 0,0610
 6  87,1126 174,839 422,53 1366,0 7752,8
         6x     20x    30x   100x   600x
     0,0689  0,1144 0,0710 0,0732 0,0774
 5  19,4448 30,6735 54,637 115,76 323,04 1550,6 
         2x      4x    10x    10x    60x   330x
     0,1029  0,1304 0,1830 0,0864 0,1857 0,2128
 4   6,7880  8,7638 12,269 19,160 35,041 82,697 326,44
         1x      1x     2x     2x     4x    10x    40x
     0,1473  0,1141 0,1630 0,1044 0,1142 0,1209 0,1225
 3   3,7397  4,0632 4,6558 5,7145 7,7030 11,914 23,123 72,070
                               1x     1x     2x     4x    26x
                           0,1750 0,1298 0,1679 0,1730 0,3608
 2   3,3869  3,1603 3,0474 3,0613 3,2434 3,6974 4,7029 7,2070 16,632
                                                    1x     1x     8x
                                                0,2126 0,1388 0,4810
 1   5,5688  4,5317 3,7529 3,1727 2,7511 2,4650 2,3109 2,3209 2,6333  4,000
                                                                         2x
                                                                     0,5000
 0  21,8385 15,6868 11,329 8,2254 6,0023 4,4017 3,2434 2,4009 1,7853 1,3333

I(W) 4,7175  6,5338 9,7716 4,2269 6,1888 10,344 3,8618 6,5518 16,632 4,0000
I(P) 1,2690  1,1807 1,1140 1,3099 1,1927 1,1070 1,3494 1,1801 1,0640 1,3333

R-m: 0,5089  0,4976 0,5086 0,5000 0,5071 0,5016 0,5082 0,4995 0,4810 0,5000

Typowań: 10     9      8      7      6      5      4      3      2      1

Oczywiście nie jest aż tak źle, byśmy odzyskiwali tylko te 1,1 %, gdyż skreślając 10 numerów mamy spore szanse uzyskać wygrane niższego stopnia. I tak, jak to widać z omawianej tabeli, za 9-ki i 8-ki zwróci się nam średnio po ponad 3 % wkładu, za 7-ki — 11 % itd., co razem złoży się na zwrot w wygranych w wysokości (podanej w przedostatnim wierszu tabeli) ok. 51 % sumy wpłaconej na samą grę.

Z tejże tabeli widać też, że wszyscy gracze, niezależnie od tego czy przy typowaniu skreślają jedną liczbę, czy dziesięć, mają szansę (nadzieję matematyczną) odzyskać mniej więcej ten sam ułamek zapłaconej kwoty: połowę. Najwyraźniej całą drugą połową dysponuje Totalizator Sportowy, Sp. z o.o. Przyjmując stawkę podstawową w wysokości 1 zł, nasze rachunki pokazują, że wszyscy grający odzyskują średnio ok. 50 gr na zakład, czyli około 40 % własnego wkładu (za 1 zakład w kolekturze płaci się 1 zł 25 gr, gdyż gracze są zmuszani wpłacać dodatkowo 25 % na cele kulturalne).

W moim pojmowaniu przyzwoitą gratyfikacją dla przedsiębiorstwa prowadzącego usługę byłoby 10 %, ewentualnie 20 % wpłacanych sum. Może jednak jest to krzywdząca opinia lub w swojej analizie albo wnioskach popełniam gdzieś błąd? Będę więc wdzięczny za każdą podpowiedź i zasadną krytykę. Proszę pisać na adres: kb@astro.uni.torun.pl.

Systemy — rozbój w biały dzień
Reguły Multi Lotka, inaczej niż w Dużym Lotku, nie przewidują tzw. systemów. Niemniej, gracze mogą stosować swoje strategie grania składając większą liczbę zakładów i grając w wielu kolejnych losowaniach według ustalonego z góry schematu. Często podstawą takich strategii jest subiektywna przesłanka, że pewne liczby są 'szczęśliwsze' od innych albo, że 'chodzą' np. parami. Oczywiście, są to błędne założenia oparte na zaobserwowanej w przeszłych losowaniach korelacji pojawiania się pewnych liczb. Gdyby takie związki wynikające ze statystyki skończonej liczby losowań były prawidłowością, znaczyłoby to ni mniej ni więcej tylko tyle, że maszyna losująca albo metodyka losowania ma jakąś ukrytą wadę bądź przedsiębiorstwo prowadzące grę zapewniło sobie możliwość manipulowania losowaniem i de facto wykorzystuje ją. Jednakże, chociaż nie można całkowicie wykluczyć wspomnianej wadliwości czy ingerencji człowieka w wyniki losowania, o ile mi wiadomo nie ma podstaw do takich wniosków. Krótko mówiąc, rozsądne jest przyjęcie za pewnik iż proces losowania nie pamięta poprzednich wyników, dlatego każde losowanie musimy traktować jako całkowicie niezależne od wszystkich poprzednich i wszystkie liczby oraz ich kombinacje jako jednakowo prawdopodobne. Jeśli się z tym zgodzimy, musimy uznać wszelkie systemy jako zawodne i nie dające żadnej gwarancji sukcesu — na dłuższą metę jesteśmy zasadniczo skazani na sromotną przegraną. Naturalnie, zgodnie z prawdopodobieństwem, będą również nieliczni wygrani szczęśliwcy, ale nigdy nie będzie to skutkiem przemyślnej strategii gry, lecz zwykłym zdarzeniem losowym. Zilustrujemy to przykładami.

Portal internetowy 'Serwis dla graczy lotto' zachęca do grania kilkoma systemami reklamując je jako '100-procentowe', 'efektywne', 'gwarantujące'. Przedstawia się te systemy w sposób wielce sugestywny, stwarzając pozory niezawodnego zysku, by namówić graczy do znacznego zaangażowania finansowego. Jeden z tych stuprocentowych polega na wybraniu dwóch numerów i skreślaniu ich na kolejne losowania (do 20 losowań) z coraz większą stawką, obliczoną tak, by ewentualnie trafiona po drodze dwójka gwarantowała zrekompensowanie (z 10 – 20 zł nadwyżką) dotychczasowych nakładów poniesionych od pierwszego losowania. Ponieważ śrenia częstość, z jaką wypada dowolna para liczb, wynosi raz na ok. 17 ciągnień, przekonująco zdaje się brzmieć zapewnienie, że w 20-u losowaniach prawie zawsze się pojawi. Niestety, nie jest to prawda.

Bazując na przedstawionych w Tab. 4 częstościach I, dość łatwo można obliczyć prawdopodobieństwo, że jakaś kombinacja liczb przynajmniej raz pojawi się w zadanej liczbie losowań, n. W tym celu musimy wyliczyć prawdopodobieństwo przeciwne — że w n losowaniach wcale nie pojawi się nasza kombinacja, wówczas szanse na jej wystąpienie ocenimy jako 1 minus obliczone tak prawdopodobieństwo niepojawienia się. Przy założeniu, że każde losowanie jest niezależne od poprzednich, prawdopodobieństwo łączne wyraża się iloczynem prawdopodobieństw każdego losowania, co można ująć w postać formuły (1 – 1/I)ⁿ. Zatem w ogólności, kombinacja występująca ze średnią częstością I w n losowaniach średnio będzie się pojawiać raz na następującą liczbę gier systemowych (z których każda obejmuje n losowań):

1 1 – (1 – 1/I)n .

(3)

W Multi Lotku, każda dwójka liczb pojawia się średnio z częstością raz na I = 16,63158 losowań, co podstawione do wzoru (3) przy n = 20 daje 1,407115, czyli mniej więcej w trzech grach tym systemem możemy zasadnie liczyć na (średnio) dwukrotne powodzenie. Co jednak znaczy to jedno niepowodzenie wobec dwóch wygranych? Otóż wygrywając dwukrotnie zyskujemy około 30 zł, a przegrywając tylko raz tracimy ponad 300 zł! Tak wygląda ta 100-procentowa strategia! System ten, o ironio, to niemal 100-procentowa gwarancja wysokiej przegranej. Ale może należałoby kończyć tę 'atrakcyjną' grę wcześniej, powiedzmy grać za każdym razem tylko do co najwyżej 10 losowań? Wtedy oczywiście mniej przegrywamy, ale częściej (wygrana przypada średnio raz na 2,16 gier tym systemem); już nie tracimy średnio po ok. 100 zł na grze lecz tylko po jakieś 15 – 20 zł.

W innym systemie, 'trójskreśleniowym', skreśla się po trzy liczby z wybranego zestawu pięciu liczb na 10 kuponach tak, by wyczerpać wszystkie kombinacje trójek z tej piątki liczb. Szansa, że owe 10 zakładów przyniesie przynajmniej jedną trafną trójkę jest równa szansie trafienia przynajmniej w trójkę w grze z jednym zakładem na pięć skreśleń czyli, jak obliczymy z danych Tab. 4, wynosi 1:11,914 + 1:82,697 + 1:1550,6 = 1:10,344. Ze wzoru (3) szybko się zorientujemy, że w proponowanym systemie (obejmującym n = 10 losowań z częstością wygrywania I = 10,344) mamy szansę odnieść sukces z prawdopodobieństwem 1:1,5669 czyli około 7:11, tzn. średnio 4 pogromy (w tę grę każe się wkładać grube pieniądze!) na 11 rozgrywek systemowych. Jeśli ktoś jeszcze sądzi, że pozostałe strategie polecane we wskazanym portalu są rzetelniejsze i mniej go będą kosztować, niechaj próbuje.

Poniższy cytat z opisu programu Multilotek (wersja 2.0, autorzy: Aleksander Mawrow, Edyta Szendzielorz) pokazuje, że ludzie stojący za Eureką (niewątpliwie inteligentni i wykształceni, więc zdający sobie sprawę z tego, że jedynym zadaniem ich systemów jest zmylenie graczy w celu wyłudzenia od nich pieniędzy) nie dość, że jawnie kpią sobie z moralności, to jeszcze zastrzegają prawo do wyłączności na tą przestępczą (bo opartą na fałszu i oszukiwaniu klientów) działalność. 3) Tworzenie systemów pełnych, skróconych, twardych i preferencyjnych® (absolutna nowość)     System preferencyjny bazuje na systemie skrócony Różni się tym, że niektóre liczby klucza są bardziej preferowane od innych, tzn. występują w kombinacjach częściej. Systemy preferencyjne mają z góry ustaloną ilość takich liczb preferencyjnych. Ich maksymalna, możliwa ilość w systemie zależy od ilości wybieranych liczb. Gry liczbowe istnieją w Polsce od kilkudziesięciu lat, jednak to firma Eureka po raz pierwszy zastosowała systemy preferencyjne. Zasady generacji systemów preferencyjnych zostały opracowane przez firmę Eureka i firma ta ma wyłączne prawa do dysponowania nazwą "systemy preferencyjne". Atutem systemów preferencyjnych w stosunku do systemów skróconych i twardych ( przy takiej samej ilości wytypowanych liczb ) jest zwiększona o 80% szansa wygrania w wypadku trafienia w typowane liczby preferencyjne, a w wypadku braku takiego trafienia szansa wygrania jest wciąż większa niż w systemie twardym.     Wyjaśnijmy, że cała rewelacja owych systemów 'preferencyjnych' polega na subiektywnym przypisaniu przez gracza większej wagi niektórym liczbom z wybranego zestawu (w 'twardych' systemach wszystkie wybrane liczby w proponowanych przez firmę kombinacjach występują z taką samą częstością) co, oczywiście, nijak nie poprawia szans wygranej! Proponuję autorom zrobienie systemu 'superpreferencyjnego', w którym kombinacje wygenerowane systemem preferencyjnym byłyby zastępowane przez inne utworzone całkowicie losowo ze wszystkich 80 liczb. Ten system musiałby zagwarantować, że nowe kombinacje mają najmniejszą wzajemną korelację, co sprawi, że zwiększą się szanse wygrania. Wtedy autorzy z czystym sumieniem mogliby zapewniać klientów, że system 'superpreferencyjny' jest najlepszy na świecie a gwarancja nie jest tylko mydleniem oczu. Sugeruję również zastąpienie tego tekstu (umieszczonego w Pomocy programu): Jak grać, żeby wygrywać? Wystarczy systematycznie używać tego programu oraz jego kolejnych wersji. Należy używać poprawnej statystyki. Można wykorzystać bazę danych liczb na podstawie częstotliwości występowania, częstotliwości występowania tygodniami, oraz pozostałych opcji statystycznych. na podobny, lecz z początkami zdań niemal zanegowanymi, ale za to zgodnie z prawdą mówiącymi, że 'Nierozsądne jest...', 'Nie pomaga...', 'Nic nie daje...' Alternatywnie, można zmienić tylko sam tytuł na: 'Iluzoryczne metody gry.'

Jeszcze inne systemy sprzedaje firma Eureka Systems reklamująca się poprzez portal lotto. Ze wskazanej strony internetowej nie do końca można się zorientować w regułach tych systemów, ale zasadniczo polegają one na wyborze przez gracza kilkudziesięciu liczb z puli 80-ciu i skreślaniu wielu zakładów z rozmaitymi kombinacjami wybranych liczb. Firma gwarantuje, że jeśli gracz trafi podaną liczbę numerów, gra się mu opłaci. Na tejże stronie przedstawia ona kilkadziesiąt przykładowych systemów „na wysoką ilość kombinacji, przeznaczonych dla zaawansowanych graczy" (niech Czytelnik zwróci uwagę na śmieszną frazę 'zaawansowani gracze' — zapewne za zwrotem tym kryją się gracze 'bogaci i naiwni', ale klientowi trzeba się podchlebić). Przykład pierwszy z brzegu wygląda tak: 10-45-1200 4 5 czwórek 15 68,00. Ten system polega więc na obraniu 45 liczb i złożeniu w kolekturze 1200 różnych zakładów po 10 skreśleń w każdym (według schematu proponowanego przez firmę) i wówczas zapewnia się gracza, że gra mu się opłaci jeśli wśród owych 45 liczb będzie przynajmniej 15 trafnych.

Tego, jakie są szanse trafienia przynajmniej 15 z 20 wylosowanych liczb, nie dowiemy się jednak od producenta, gdyż jego zyski wynikają właśnie z zatajenia tej prawdy. Wzór (2) stanowi, że j trafnych w tym systemie (odpowiadającym K = 45 skreśleniom) przydarza się średnio raz na

Analogiczny rachunek dla systemu 10-60-6000 6 13 czwórek 20 175,00 pokazuje, że tutaj trafienie w 20 wymaganych liczb przypada raz na 843 gry, dla 10-48-200 8 5 czwórek 19 45,00 przynajmniej 19 trafnych mamy co 9157 gier, a dla 8-40-80 9 3 czwórki 17 40,00 spełniamy warunek gwarancji (przynajmniej 17 trafnych) raz na 3643 gry.

Dla graczy, którzy chcieliby ocenić swoje szanse w korzystaniu z wielu innych systemów Eureki, sporządziłem poniższą tabelę. Zawiera ona częstości spełniania stawianego przez tę firmę warunku gwarantowanego powodzenia w grze ich systemami, w której gracz obiera sobie pulę K liczb i powinien trafić przynajmniej j z wylosowanych w Multi Lotku 20 liczb.

Jeśli częstości widniejące w pierwszej części tej tabeli wydają się Czytelnikowi atrakcyjne, niechaj pamięta, że aby je uzyskać musi złożyć w kolekturze bardzo dużo zakładów. Np., częstość trafiania przynajmniej dziesiątki (j = 10) przy K = 20 wynosi ok. raz na 211 gier. Aby tę częstość osiągnąć przy możliwości skreślania tylko k = 10 numerków na jednym kuponie, trzeba do każdej gry wypełniać aż po C(K,k) = C(20,10) = 20!/[(20–10)! 10!] = 184756 kuponów — każdy z inną kombinacją numerków. Mniej kuponów trzeba wypełniać przy skreślaniu mniejszej liczby numerów na jednym kuponie (np. dla gry piątkami trzeba tylko C(20,5) = 15504 kuponów), ale też wygrane są odpowiednio niższe. W tej trudnej sytuacji 'pomocną rękę' (wiadomo jednak o co tej ręce chodzi) wyciągają do nas ludzie z Eureki. Zauważyli oni, że jeśli zdarzy się, iż w tym przykładzie trafimy np. 11 numerów z obranych 20 (szansa: 1 wygrana na 1246 gier), będzie to znaczyć, że w owych 184756 zakładach mamy nie jedną dziesiątkę, lecz C(11,10) = 11 dziesiątek plus mnóstwo wygranych niższego stopnia. Bazując na takich relacjach sugerują nam, jak skreślić dużo mniej niż te przykładowe 184756 kuponów, by — tracąc wprawdzie lwią część z tych licznych wygranych, z tym co pozostaje wyjść jednak na swoje (oczywiście, wciąż pod tym wrednym warunkiem, że mamy szczęście w 20 obranych numerkach trafić 11 z wylosowanych).

Tab. 5: Spodziewane częstości przynajmniej j trafień (warunek powodzenia
w systemach Eureki) przy założeniu, że skreśla się (gracz wybiera) K liczb.
Częstości podano zaokrąglone do pięciu cyfr znaczących. Oznaczenie
En wyraża czynnik 10ⁿ, np. E6 to miliony, E10 — dziesiątki miliardów

  K | j: 1      2      3      4      5      6      7      8       9      10      11

  1 | 4,0000
  2 | 2,2734 16,632
  3 | 1,7138 6,5518 72,070
  4 | 1,4458 3,8618 21,593 326,44
  5 | 1,2940 2,7238 10,344 78,510 1550,6
  6 | 1,1999 2,1281 6,1888 31,484 310,11 7752,8
  7 | 1,1384 1,7755 4,2269 16,237 106,44 1321,9  40979
  8 | 1,0968 1,5497 3,1533 9,7716 47,998 395,02 6067,9 230110
  9 | 1,0681 1,3975 2,5053 6,5338 25,677 157,62 1600,0  30015 1380700
 10 | 1,0480 1,2909 2,0860 4,7175 15,466 75,573 570,52 7059,5  160440 8911700
 11 | 1,0338 1,2145 1,8008 3,6112 10,170 41,233 246,99 2268,3  33959,  931070 62,382E6 
 12 | 1,0238 1,1587 1,5994 2,8943 7,1559 24,779 122,73 892,38  9901,1   17866 5,9045E6
 13 | 1,0167 1,1176 1,4531 2,4071 5,3147 16,056 67,663 405,83  3559,6   47551 1,0335E6
 14 | 1,0116 1,0870 1,3447 2,0634 4,1248 11,054 40,478 206,03  1488,2   15699 252400
 15 | 1,0081 1,0642 1,2630 1,8137 3,3206 7,9999 25,871 114,11  698,21  6057,9  76845
 16 | 1,0056 1,0471 1,2009 1,6280 2,7568 6,0368 17,467 67,835  358,97  2634,9  27467
 17 | 1,0038 1,0344 1,1532 1,4875 2,3495 4,7204 12,351 42,778  198,91  1260,9  11109
 18 | 1,0026 1,0250 1,1166 1,3796 2,0481 3,8060 9,0869 28,361  117,34  652,56 4959,9
 19 | 1,0018 1,0180 1,0884 1,2959 1,8204 3,1516 6,9191 19,631  73,006  360,67 2402,3
 20 | 1,0012 1,0129 1,0666 1,2305 1,6457 2,6713 5,4294 14,107  47,565  210,85 1246,0
 21 | 1,0008 1,0092 1,0499 1,1792 1,5099 2,3112 4,3753 10,479  32,262  129,41 685,29
 22 | 1,0005 1,0065 1,0371 1,1388 1,4032 2,0364 3,6102 8,0151  22,675  82,879 396,56
 23 | 1,0003 1,0045 1,0274 1,1070 1,3187 1,8236 3,0426 6,2939  16,450  55,122 239,97
 24 | 1,0002 1,0031 1,0201 1,0820 1,2515 1,6567 2,6135 5,0606  12,279  37,919 151,08
 25 | 1,0001 1,0021 1,0146 1,0624 1,1979 1,5245 2,2838 4,1570  9,4043  26,889 98,558
 26 | 1,0001 1,0014 1,0105 1,0472 1,1550 1,4190 2,0268 3,4819  7,3736  19,601 66,387
 27 | 1,0001 1,0010 1,0074 1,0353 1,1208 1,3343 1,8242 2,9688  5,9066  14,652 46,037
 28 | 1,0000 1,0006 1,0052 1,0262 1,0936 1,2660 1,6629 2,5728  4,8254  11,208 32,786
 29 | 1,0000 1,0004 1,0036 1,0193 1,0719 1,2109 1,5335 2,2632  4,0144  8,7574 23,927
 30 | 1,0000 1,0003 1,0025 1,0140 1,0548 1,1665 1,4290 2,0184  3,3961  6,9789 17,861
 35 | 1,0000 1,0000 1,0003 1,0024 1,0121 1,0456 1,1366 1,3497  1,8200  2,8841 5,5228
 40 | 1,0000 1,0000 1,0000 1,0003 1,0019 1,0095 1,0358 1,1087  1,2813  1,6622 2,5102
 45 | 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0002 1,0013 1,0067 1,0263  1,0828  1,2211 1,5308
 50 | 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0001 1,0008 1,0042  1,0176  1,0593 1,1673
 60 | 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000  1,0001  1,0008 1,0048
 70 |                                                                  1,0000 1,0000

  K | j: 1      2      3      4      5      6      7      8       9      10     11

Tab. 5 (dokończenie)

K | j: 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12 | 478,26E6 13 | 41,271E6 4065,2E6 14 | 6,6247E6 321,57E6 38910,E6 15 | 1,4911E6 47,551E6 2834,5E6 428,01E9 16 | 420240 9,9028E6 387,66E6 28,830E9 5564,1E9 17 | 139570 2,5920E6 74,950E6 3,6594E9 347,76E9 89026,E9 18 | 52629 802170 18,272E6 658,79E6 41,093E9 5178,8E9 18695E11 19 | 21973 282690 5,2827E6 149,99E6 6,9067E9 571,21E9 10150E10 57956E13 20 | 9979,0 110600 1,7436E6 40,600E6 1,4719E9 89,847E9 10475,E9 29436E11 35353E14  21 | 4864,7 47175 640410 12,576E6 373,78E6 17,959E9 1545,1E9 28485E10 16835E13 22 | 2520,2 21647 256990 4,3435E6 108,84E6 4,2866E9 290,23E9 39478,E9 15304E12 23 | 1376,4 10576 111150 1,6422E6 35,407E6 1,1753E9 65,215E9 6979,8E9 19962E11 24 | 787,54 5457,0 51271 670280 12,629E6 360,61E6 16,861E9 1478,7E9 33270E10 25 | 469,60 2954,5 25017 292240 4,8705E6 121,49E6 4,8855E9 360,98E9 66541E9 26 | 290,59 1669,5 12827 134970 2,0091E6 44,317E6 1,5565E9 98,886E9 15356E9 27 | 185,93 980,33 6872,7 65580 878990 17,313E6 537,53E6 29,821E9 3981,1E9 28 | 122,65 595,98 3831,3 33340 405040 7,1806E6 199,02E6 9,7589E9 1137,5E9 29 | 83,185 373,95 2213,6 17652 195480 3,1401E6 78,314E6 3,4272E9 353,00E9 30 | 57,886 241,52 1321,4 9696,3 98348 1,4395E6 32,519E6 1,2803E9 117,67E9 31 | 41,248 160,21 812,68 5507,5 51376 688440 14,167E6 505,08E6 41,753E9 32 | 30,047 108,92 513,76 3225,7 27773 342120 6,4433E6 209,19E6 15,657E9 33 | 22,342 75,770 333,17 1943,4 15492 176060 3,0471E6 90,516E6 6,1680E9 34 | 16,937 53,851 221,24 1201,9 8895,1 93547 1,4930E6 40,745E6 2,5398E9 35 | 13,074 39,050 150,19 761,56 5245,5 51187 755710 19,013E6 1,0885E9 40 | 4,5543 10,200 28,916 106,54 526,52 3642,8 37680 656010 25,647E6 45 | 2,2195 3,8598 8,3184 22,936 83,802 424,46 3186,5 39941 1,1153E6 50 | 1,4173 1,9819 3,3310 7,0078 19,242 72,455 401,17 3685,3 75013, 55 | 1,1190 1,3168 1,7790 2,9067 6,0532 17,020 69,671 470,16 7000,1 60 | 1,0215 1,0763 1,2258 1,5984 2,5487 5,3381 16,008 78,409 843,38 65 | 1,0014 1,0088 1,0402 1,1429 1,4309 2,2290 4,8023 16,585 124,75 70 | 1,0000 1,0001 1,0018 1,0134 1,0691 1,2690 1,9208 4,4373 21,838 75 | 1,0000 1,0006 1,0129 1,1070 1,5801 4,4017 80 | 1,0000 K | j: 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Z przeprowadzonej analizy widać, że nabywcy produktów z rzeczonego portalu Eureki, jak i sami producenci, muszą świetnie się bawić taką grą w Multi Lotka za multi-pieniądze. O stanie ducha ludzi z tej firmy świadczy ponadto taka oto zachęta: „wszystkim osobom, które udzielą nam informacji gdzie można kupić nasze programy sprzedawane bez licencji, udzielimy dużych rabatów przy zakupie programów i systemów," co (dopowiedzmy to już od siebie gwoli prawdzie) dodatkowo jeszcze nabije sprzedawcom kiesę, a nabywcom pomoże przegrać dowolnie dużo forsy.

Wnioski

Warto też zapamiętać, że zaobserwowane korelacje liczb w minionych losowaniach mają prawo tam występować, ale nie mają żadnego wpływu na następne losowania. Tak więc, wszelkie sugestie grania systemami, w których występuje ten element (oparty np. na częstości losowanych kiedyś liczb bądź ich kombinacji, czy wręcz na upodobaniach gracza) bazują na fałszywych założeniach, nie mogą zatem być proponowane przez uczciwych ludzi ani rzetelne instytucje.

Również samej częstości występowania kombinacji liczb obliczonej z rachunku prawdopodobieństwa nie należy zbytnio przeceniać. Z rachunku takiego wynikają bowiem tylko prawidłowości statystyczne słuszne dla bardzo dużych liczb (liczby losowań bądź gier). Np. to, że w jeden numer w Multi Lotku trafia się średnio co cztery gry (bo losuje się 1/4 wszystkich liczb puli), nie oznacza bynajmniej pewności, że w czterech kolejnych zagraniach wystąpi takie trafienie. Tenże rachunek prawdopodobieństwa mówi konkretnie, że na conajmniej jedną tego rodzaju wygraną w czterech kolejnych grach możemy liczyć średnio tylko raz na 1,46 'czterogier', ale już w ciągu obejmującym 7 kolejnych gier (proponowanym w jednym z tych niechlubnych 100% systemów, w którym jedna przegrana kosztuje gracza ponad 1300 zł) możemy spodziewać się średnio 'tylko' jednej wpadki na 7 'siedmiogier'. Kiedy mówimy tu 'średnio', kryje się za tym określeniem w zasadzie nieskończona liczba prób, jednak liczebność 'bardzo duża' (tysiące, miliony) jest zwykle całkiem dobrym przybliżeniem, ale nawet ona nigdy nie stanowi gwarancji powodzenia.

Z drugiej strony w grach losowych istnieje zawsze skończona liczba możliwości (kombinacji), więc istnieje też sposób na rzeczywiście 100-procentowo pewną wygraną: trzeba złożyć tyle różnych zakładów, ile jest różnych kombinacji (w Dużym Lotku prawie 14 milionów; w Multi Lotku 10 liczb można skreślić na C(80,10) = 1646492110120 sposobów, jednak wśród nich jest aż C(20,10) = 184756 trafnych dziesiątek). Oczywiście, ten teoretyczny sposób jest nieopłacalny (bo zawsze zapłacimy więcej niż wygramy) i niepraktyczny. Ale loteria oferuje realną wygraną, jakkolwiek mało prawdopodobną, a ponieważ wygrana pociąga, ludzie grali i będą grać. Cóż w tej sytuacji można rozsądnego graczom doradzić, prócz litanii ostrzeżeń i negatywów? Kilka rzeczy można podpowiedzieć. Rady zależeć jednak będą od tego, o co komu chodzi przed przystępowaniem do gry. Ważne jest czy 'zawodnik' np. poluje tylko na najwyższą wygraną, czy może chciałby zmaksymalizować szanse wygrania niższego stopnia. Jasne, że:

— O duże pieniądze lepiej grać w Dużego Lotka niż w Multi Lotka, gdyż przy porównywalnych szansach trafienia, Duży Lotek oferuje o około rząd wielkości wyższą wygraną.
— O małe pieniądze lepiej grać w Multi Lotka niż w Dużego Lotka, gdyż w Multi wygrywamy raz na 4 do 17 gier (patrz wiersz I(W) w Tab. 4), a w Dużym tylko raz na 57 gier.
— Złożenie kilku różnych zakładów w kolekturze daje prawdopodobieństwo trafienia kilkakrotnie większe, niż w przypadku złożenia jednego zakładu z tyleżkrotnie wyższą stawką (opłatą).
— Chcąc wygrać w Multi Lotka np. 600 zł rozsądniej jest jednak, a wynika to z Tab. 4, zapłacić dwukrotną stawkę i skreślić pięć numerów (szanse około 1:1550), niż wypełniać dwa różne zakłady w grze o szóstkę (szanse trafienia 2:7750 czyli 1:3870).
— Wszystkie systemy, które oferują wielokrotne wygrane dowolnego stopnia, robią to w większym lub mniejszym stopniu kosztem szans trafienia, zatem są zasadniczo niekorzystne dla graczy.
— Wyniki aktualnych losowań nie mają nijakiego związku przyczynowego z częstością bądź korelacją występowania liczb w dawniejszych losowaniach, dlatego nie warto kupować programów typu Lotto Mania firmy Soft-System czy tych rozlicznych oferowanych przez firmę Eureka Systems z Katowic.
— W.w. firmy podsuwają grającemu i sprzedają fałszywe nadzieje oparte o statystyki bądź własne upodobania gracza, szermując przy tym gwarancjami, które w praktyce nic nie znaczą. Taka działalność jest niewątpliwie amoralna, ale być może powinna być ścigana przez prawo jako pospolite przestępstwo polegające na wyłudzaniu pieniędzy poprzez celowe wprowadzanie klientów w błąd. Wydaje się, że ten proceder jest uprawiany już od wielu lat.

Toruń, 16 stycznia 2004 r.  
(ostatnia aktualizacja 31 marca 2004 r.)