Wersja pdf

Program AutoFFT
do wstępnej obróbki danych
z autokorelatora TCfA

K.M. Borkowski, Centrum Astronomii UMK (TCfA), Toruń

Wejście 1:   -1  -1  -1   0   0   0   +1  +1  +1
Wejście 2:   -1   0  +1  -1   0  +1   -1   0  +1

Korelacja:   +1   0  -1   0   0   0   -1   0  +1
Wyjście:      2   1   0   1   1   1    0   1   2
  P-stwo:      P-- P-o P-+ Po- Poo Po+  P+- P+o P++

Zauważmy najpierw, że oczekiwane wartości zliczeń korelatora trójpoziomowego możemy analizować tak, jak gdyby generował on niezmienione wartości korelacji (nie powiekszone o 1), gdyż znając czas integracji lub liczbę cykli korelacji próbek, od zakumulowanych wartości możemy po prostu odjąć te dodane jedynki w liczbie równej liczbie cykli korelacji w danej integracji ACF, N_max. W dalszym ciągu zakładamy, że ta pierwsza operacja (odejmowanie N_max) została wykonana. Przyjmiemy również, że sygnał przed ograniczaniem i próbkowaniem ma normalny (gaussowski) rozkład amplitud o zerowej średniej i odchyleniu standartowym σ, które jest zarazem RMS (wartością średnikwadratową albo mocą skuteczną) sygnału. Ten rozkład prawdopodobieństwa ma postać: 1/[σ √{2π}] exp[–x²/(2σ²)], gdzie x jest amplitudą sygnału. Założenie o normalności sygnału generalnie jest dobrze spełnione, gdyż obserwowane linie widmowe są bardzo słabe. Obraz ten psują jednak zakłócenia, dlatego poniższe rozważania tracą słuszność w obecności silnych zakłóceń lub bardzo silnych linii widmowych.

N  Nmax     =    1 4 [ Erf ( –V1 σ√2 ) – Erf ( V2 σ√2 ) ] 2         (1)

która przy jednakowych (co do wartości bezwzględnej) progach kwantowania, v, redukuje się do znanego z literatury wzoru:

No Nmax   =  1 – Erf( v σ √2 ).       (3)

Wzory (1) i (2) łatwo przekształcić do postaci:

Do przybliżonych ocen wysokości i wzajemnej relacji progów kwantowania dla obecnej konfiguracji autokorelatora TCfA mogą w praktyce posłużyć poniższe wykresy pokazujące zależność wysokości tych progów od statystyk w kanale z zerowym zapóźnieniem oraz w końcowych kanałach ACF. Poszczególne krzywe odpowiadają różnym zmierzonym średnim w dalszych kanałach zgodnie z opisem w ramce wewnątrz rysunku. Czarne krzywe dotyczą idealnie symetrycznych progów kwantowania.

Wzór (1) mówi, że przy nierównych poziomach kwantowania podczas korelacji sygnału losowego w postaci całkowicie niezależnych próbek powstaje pewna stała nadwyżka we wszystkich 'niezerowych' kanałach w funkcji absolutnej wartości różnicy tych poziomów. W praktyce tę nadwyżkę można łatwo zmierzyć licząc średnią wartość surowej ACF z końcowych kanałów autokorelatora, gdzie idealna (pod względem tych poziomów) ACF powinna być bliska zera. Jeśli odejmiemy ją od wszystkich niezerowych kanałów, otrzymamy inną ACF. W oparciu o teorię możnaby sądzić, że taką ACF, jaką otrzymalibyśmy z korelatora przesuwając niższy (co do wartości bezwzględnej) poziom do wartości wyższego (bo generowałby on teraz mniej jedynek, a więcej zer, co zmniejszyłoby wartość średnią ACF). I tak się w praktyce robi (odejmuje się średnią). Widzieliśmy jednak, że w zerowym kanale jest inna nadwyżka, niż w pozostałych. Mianowicie, ze wzoru (2) łatwo wydedukować, że nadwyżka spowodowana różnymi poziomami kwantowania wyniesie tutaj konkretnie:

Pokazaliśmy, że niezrównoważenie poziomów kwantowania nie można skompensować po prostu odejmując wartość średnią. Z pomiarów wynika jednak, że autokorelator TCfA może mieć pewien 'rozbalans' progów, gdyż wartość średnia ACF dalszych kanałów stanowi ok. 0.03% N_max. Zanim ten rozbalans zostanie potwierdzony i opracowana pełniejsza teoria korekty ACF na efekt nierównych poziomów kwantowania, tymczasem zajmiemy się prostszym do analizy korelatorem, który ma równe poziomy: V₂  =  –V₁  =  v.

Wiadomo, że optymalna pod względem czułości wartość ustawienia poziomu ograniczania (kwantowania) sygnału wynosi ok. v = 0.6 σ (z niewielką stratą gdzie indziej w zakresie od ok. 0.4 do ok. 0.85 v/σ; patrz rys. niżej). Dla tej wartości v/(σ√2) = 0.6/√2 = 0.424264.

Przy takim poziomie N_o/N_max  =  1 – Erf(0.424264)  =  0.548506, co oznacza, że kanał z zerowym zapóźnieniem w czasie integracji powinien zliczać średnio około 55% jedynek i 45% zer. Zatem optymalna 'trójpoziomowa' ACF po znormalizowaniu (przez podzielenie przez liczbę korelowanych próbek) ma taką właśnie wartość w swoim maksimum. Dla nieoptymalnych konfiguracji autokorelatora 3-poziomowego zliczenia w zerowym kanale mogą być większe lub mniejsze, jak pokazano na niżej załączonym rysunku.

W osobnym pliku znajduje się tabela zawierająca wartości numeryczne N_o/N_max w funkcji v/σ w większym niż na rysunku zakresie, od 0 do 4.00 z krokiem 0.01.

r(ρ) = ∞ ∫ –∞  Ψ(x,y) p(x,y,ρ) dx dy,       (6)

gdzie funkcja przejścia Ψ(x,y) opisuje sposób kwantowania, ρ jest współczynnikiem korelacji, a p(x,y,ρ) — rozkładem łącznego prawdopodobieństwa zmiennych losowych x i y. Gdy zmienne mają jednakowe dyspersje (σ), rozkład ten ma postać

p(x,y,ρ) =  1  2πσ2 √ 1 – ρ2 exp [ – x2 + y2 – 2ρ xy 2σ2(1 – ρ2) ] .       (7)

Gorzej wygląda sytuacja dla kwantowania 3-poziomowego. Istnieje tutaj pośrednie rozwiązanie analityczne dla jednakowych poziomów kwantowania. To rozwiązanie opisuje wyrażenie (np. JB Hagen i DT Farley, 1973, Radio Science, 8, 775):

r(v/σ,ρ)  =   1 π ρ ∫ 0  1  √ 1 – x2 [ e–(v/σ)2/(1 + x) + e–(v/σ)2/(1 – x) ] dx.         (8)

Dysponując zależnością ρ(r) właściwą dla danego autokorelatora 3-poziomowego (chodzi w istocie tylko o wysokość progu kwantowania, v, względem mocy skutecznej mierzonego sygnału) możemy za jej pomocą poprawiać zmierzoną i znormalizowaną ACF, obliczając po prostu ρ(ACF).

Ponieważ autokorelator TCfA ma poziom v bliski optymalnemu, w programie AutoFFT zastosowano korekcję według wyżej podanego wielomianu piątego stopnia (z niewielką jego modyfikacją przez usunięcie pierwszej stałej i znormalizowanie do wartości 0.548506 dla ρ = 1). W istocie program zawiera jeszcze dwie inne funkcje korygujące. Wybór właściwej funkcji następuje automatycznie według zmierzonej wartości r_o = N_o/N_max. Dla r_o > 0.9 jest to poprawka Van Vlecka (potrzebna, gdyż autokorelator można przestawić na jednobitowy tryb pracy), między tą wartością a 0.3 — poprawka dla optymalnego poziomu (v = 0.6σ), zaś dla r_o ≤ 0.3 jest to wielomian czwartego stopnia z powyższego rysunku (wykorzystywany zasadniczo tylko dla testów).

Do przekształcenia poprawionej ACF na widmo mocy służy transformacja Fouriera. W programie wykorzystano gotowy podprogram (taki jak w Numerical Receipes, four1, po zamianie zmiennych typu real*4 na real*8, tj. do podwójnej precyzji). Jest to procedura oparta na algorytmie FFT (szybkiej transformaty Fouriera) dla ciągu liczb zespolonych. ACF jest rzeczywistą funkcją parzystą, dlatego jej transformata też jest rzeczywista i parzysta. Ze względu na tę symetrię ACF i jej rzeczywistość, oraz specyfikę FFT należy specjalnie przygotować dane przed użyciem podprogramu FFT. Mianowicie, z ciągu danych ACF (w liczbie 4096; tyle jest kanałów) należy utworzyć nowy ciąg 8192 liczb, w którym co druga (części zespolone) jest zerem. Następnie kolejne 8192 liczby zapełnić tym samym ciągiem, ale od tyłu i poczynając od 8185 komórki tablicy danych (tj. z pominięciem 8193 i następnej, które można zapełnić zerami, bądź powtórzyć ostatnią liczbę zespoloną ACF — tak się robi w AutoFFT). Ponieważ FFT wymaga liczby danych będącej potęgą 2, znaczy to, że kopia pierwszej liczby ACF nie zmieści się w tak przygotowanej tablicy. Jest to zgodne z faktem, że parzystość ACF oznacza symetrię tej funkcji względem pierwszej wartości (dla zapóźnień ujemnych ACF jest taka sama, jak dla dodatnich), czyli nieparzystą liczbę danych. Po transformacji otrzymuje się widmo — także w postaci funkcji parzystej i rzeczywistej. Te operacje można ująć w następujący schemat, w którym zerom odpowiadają części urojone:

ACF 1 2 3 ... 4096 ACF* 1 0 2 0 3 0 ... 4096 0 4096 0 4096 0 ... 3 0 2 0 Widmo 1 0 2 0 3 0 ... 4096 0 4096 0 4096 0 ... 3 0 2 0

Produktem końcowym jest ciąg 4096 liczb (co druga w pierwszej połówce tablicy) stanowiący widmo mocy sygnału docierającego do autokorelatora, przy czym w pierwszym kanale widma (komórka numer 1) mamy zerową częstość widmową (czyli składową stałą ACF), a w ostatnim (4096-tym) — częstość najwyższą. Przy próbkowaniu z częstością Nyquista częstość w ostatnim kanale odpowiada szerokości odbieranego pasma (w rzeczywistości jest mniejsza od niej o odstęp kanałów). Druga połowa naszej tablicy po transformacji zawiera to samo widmo, lecz odwrócone w analogiczny sposób, jak skonstruowaliśmy ACF*.

Rozdzielczość uzyskanego w taki sposób widma wynosi 1.21 Δf / K, gdzie Δf to szerokość pasma analizowanego sygnału, a K = 4096 — liczba kanałów autokorelatora. W praktyce tę maksymalną rozdzielczość celowo pogarsza się poprzez ważenie ACF jakąś funkcją malejącą ku końcowi ACF, aby wygładzić widmo (które jest splotem widma ACF i widma funkcji ważącej). W AutoFFT użyto okna Hanna, [1 + cos(πi/K)]/2. Po takim wygładzeniu rozdzielczość widma wynosi 2 Δf / K, co jest równe podwojonemu odstępowi kanałów końcowego spektrogramu.

Do dalszej analizy obserwacji konieczna jest znajomość częstości radiowych, którym odpowiadają poszczególne kanały czy składniki widma, a raczej stowarzyszone z obserwowanym radioźródłem prędkości radialne.

Zerowy kanał w widmie odpowiada radiowej częstości równej sumie lub różnicy częstości oscylatorów lokalnych; w naszym przypadku: f_o = f_LO1 ± f_LO2 w zależności od ustawienia wyższego z nich, f_LO1, względem częstości obserwowanej linii f (od dołu +, od góry –). Ostatni kanał odpowiada częstości o Δf wyższej lub niższej od f_o w zależności od ustawienia f_LO1 względem częstości obserwowanej linii (od dołu, czy od góry) i wyboru wstęgi bocznej przy f_LO2 (USB lub LSB; f_LO2 i wstęgi ustawia się na konwerterach BBC). Program AutoFFT rozpoznaje kierunek częstości w widmie po wartościach częstości oscylatorów lokalnych i częstości obserwowanej linii f. Tę ostatnią poprawia się najpierw na dopplerowskie przesunięcie wynikające z ruchu Słońca w Galaktyce, Ziemi wokół Słońca i radioteleskopu wokół osi rotacji Ziemi oraz na ruch własny źródła (jego znaną prędkość w lokalnym układzie odniesienia, v_LSR):

Miejsce w widmie FFT, w którym powinniśmy szukać maksimum obserwowanej linii widmowej znajduje się w odległości |f_video| / Δf od kanału z zerową częstością widmową. Odległości tej odpowiada oczywiście kanał o numerze:

Dla potrzeb pakietu SLAB, do pliku wynikowego z widmem wpisuje się taki ułamek q, który pomnożony przez liczbę kanałów K da numer kanału z linią (numer liczony od zera, czyli np. k' = k – 1). Dla efektywnej LSB (f_video ujemne) jest więc

Wątpliwość czytelnika może budzić różnica o 1/K między wyrażeniami na q₊ i q_–. Bierze się ona stąd, że kanał pierwszy (o częstości 0 MHz) ma szerokość dwa razy mniejszą od pozostałych, czyli od odstępu kanałów, który wynosi Δf / K. W związku z tym ostatni kanał (K-ty) ma częstość środkową (K – 1) Δf / K, a nie po prostu Δf. Aby numer kanału w dziedzinie prędkości radialnych wskazywał dokładnie tę samą linię, niezależnie czy widmo pochodzi z dolnej czy z górnej wstęgi bocznej, musieliśmy wprowadzić to subtelne rozróżnienie.

Prędkości radialne w 1024 kanale w dziedzinie prędkości radialnych oblicza się ze wzoru:

Zmiany wniesione do AutoFFT w stosunku do pierwotnej wersji (au-new)

1) Podprogram do obliczanie dopsetu (przesunięcia dopplerowskiego) dop działał poprawnie, ale był niewłaściwie wołany (m.in. miał błędnie zadawany rok obliczany z dnia miesiaca, co się brało z przypisania nyear=iie). Mimo, ze po poprawkach podprogram ten mógł być dalej używany, w nowej wersji został zastąpiony innym, dokładniejszym: VdRT32. Różnice prędkości zrzutowanej na kierunek zródła w trzech sprawdzanych przykładach wyniosły 0.003 do 0.004 km/s. W tej nowej wersji dokładność obliczania prędkości Ziemi (która decyduje o wspomnianych różnicach) nie odbiega od tej wyznaczonej z precyzyjnych efemeryd JPL o więcej niż 0.0006 km/s, co zostało sprawdzone dla lat od 1990 do 2019.

2) W algorytmie obliczania dopsetu dodano precesję (stosownie do zmiany w danych współrzędnych na katalogowe) i nutację pozycji obserwowanego źródła. Dodanie nutacji spowodowało zmiany rzutowanej prędkości do 0.0015 km/s (stwierdzone na trzech przykładach obserwacji z grudnia 2007).

3) Poprawiono przyjęte w programie przybliżone współrzędne RT32 na dokładne wyznaczenia z obserwacji VLBI (dla porządku, gdyż prawdopodobnie nie ma to większego znaczenia dla dokładności obliczeń dopsetu, ale to nie było sprawdzane). Ponadto współrzędne horyzontalne i galaktyczne wpisywane do pliku wyjściowego obecnie nie są przepisywane z danych, lecz obliczane z równikowych.

5) Zmieniono odejmowanie średniej z ostatnich 240 kanałów funkcji autokorelacji (ACF) od tej funkcji na odejmowanie ocenianej liczby cykli akumulacji ACF, N_max. Ta zmiana wynika z faktu, ze poprzednio pierwszy składnik widma fourierowskiego (zerowa częstotliwość, czyli wartość średnia z całej ACF) miał bardzo duże i ujemne wartości w części rzeczywistej (urojona wprawdzie jest zerowa, ale dawniej widmo liczono jako moduł, który zawsze był dodatni). Ponieważ widmo jest w tym przypadku widmem mocy, powinno być dodatnie i z bliską zeru składową o częstości zerowej. Odjęcie niewłaściwej wartości od ACF wypacza ACF(0), tj. składnik o zerowym zapóźnieniu, a to z kolei prowadzi do wyboru niewłaściwej korekty nieliniowej (typu Van Vlecka, lecz stosownej do 3-poziomowego korelatora) oraz psuje kalibrację gęstości strumienia. Obecna ocena N_max zakłada, że wartość średnia z ostatnich 240 kanałów ACF jest równa lub nieco większa niż liczba cykli akumulacji. Dokładna wartość N_max znajdowana jest w następujący sposób (fragment kodu programu):

 	average = sum/240.0
c Calculate the true number of samples accumulated, Nmax. This calculation
c is based on the fact that the average should contain about the number
c and the auto(0,i) should be an integer multiple of the number
	multiple = nint(auto(0,i)/average)
	Nmax = nint(auto(0,i)/multiple)
	bias0 = average/Nmax - 1 ! extra bias due to unequal thresholds

6) Korekcja ACF została zmieniona z poprawki Van Vlecka (stosownej do korelatora jednobitowego) na specjalnie opracowaną korekcję właściwą dla korelatora trójpoziomowego o specyficznych dla przyrządu TCfA wartościach progów kwantowania sygnału i ich relacji do skutecznego napięcia sygnału wejściowego. Funkcja CorrectACF(ri,r0,rMean) wybiera rodzaj poprawki dla zmierzonej autokorelacji ri w zależności od wartości korelacji w kanale zerowym, r0, i warości średniej rMean = bias0. Obecnie jeśli rMean ≤ 0.00001 i 0.3 < r0 ≤ 0.9 poprawia się tak jak w korelatorze optymalnym (v/Vrms = 0.5485; tutaj Vrms = σ), dla mniejszych r0 – tak jak w korelatorze o progu v/Vrms = 1.9, a dla r0 > 0.9 wprowadzana jest poprawka Van Vlecka. Jeśli rMean > 0.00001 ACF poprawia się w przybliżeniu zgodnie z teoretyczną charakterystyką trójpoziomowego autokorelatora o progach v2/v1 = u2/u1 = 1.09 i u1 = 0.6 ± 0.2.

7) Dodano obliczanie niektórych parametrów korelatora ze statystyk ACF. Są one wyświetlane na monitorze, m.in. wysokość progu kwantyzacji (v/Vrms = u) ze wzoru (3).

8) Podprogram obliczania wielowymiarowego widma FOURN został zastąpiony równoważnym FOUR1 lecz prostszym, gdyż liczącym jednowymiarową transformatę Fouriera (algorytmem FFT). Ponadto FOUR1 zmodyfikowano tak, by wszystko było liczone w podwójnej precyzji.

10) Częstość w linii, restfreq, wybierana jest z listy, która była w programie au-new (niektóre częstości w tej liście mają więcej cyfr znaczących niż te w plikach danych). Jeśli jednak na liście nie ma częstości o części całkowitej (przed kropką) takiej jak w pliku danych, brana jest częstość z pliku (z komunikatem na ekran).

Przykładowe wykonanie programu (literalna kopia ekranu z okna DOS pod Windowsami):

                     Program AutoFFT
           for TCfA AUTOCORRELATION SPECTROMETER

       Corrects  4096 point autocorrelation function for
     each of 4 BBCs and computes corresponding FFT. Each
     spectrum has  4096 points  but,  due to the Hanning
     smoothing the frequency resolution is only BW/2048.
       This program calculates also expected location of
     line in the spectrum (velocity channel) using given
     source rest frequency, frequencies of LOs and comp-
     uted Doppler shift.         Version of Feb 19, 2008


Type output [#*]filename (max 30 characters) [Enter=WYNIK.DAT]: 5cm1
 ...A file "5CM1" already exists! Overwrite? [Enter=Yes, a=Append]:
Type [+-]filename with list of data files [+- means f_LO+-BW/4]: -5cm1

Scan:   1.  Data file: G32P7_2008023001.DAT   Outfile: 5CM1.DAT
INT      31.000 'g32p7                           '
RADEC  18 51 22.000   0 -12  -6.000 2000.000
AZEL     41.718   29.063
LB       33.451   -0.432
UTST   11 51 21 21 14 24
DATE   1201089081  23 Wed  Jan  23 11:51:21 2008
FREQ   6668.231 6668.231 6668.231 6668.231
FREQA  6668.230 6668.230 6668.230 6668.230
REST   6668.518 6668.518 6668.518 6668.518
LO     5899.500   -1.000 5900.000   -1.000
BBCFR   767.230  767.230  767.230  767.230
BW        2.000    2.000    2.000    2.000
POL        A        C        A        C
VLSR     38.500   38.500   38.500   38.500
TSYS     47.000   33.000   47.800   32.400
   f(LSR)/MHz   f(sky)    LO1(RF)   LO2(BBC)  fvideo   V(Dopp) [km/s] V(LSR)
   6668.5180  6668.2310  5899.5000  768.7310  1.5010  -25.5955       38.5000
 ===> Frequency domain: line is in channel No 3075,   V1024f =   83.522 km/s
 ===> Velocity domain (.0220 km/s/ch):        1022,   V1024v =   38.544 km/s
  ACFs (USBeff), Nmax:   58621204  BBC1        BBC2        BBC3        BBC4
 r0=N0/Nmax (best is .5485)       0.4243      0.5209      0.4923      0.5209
 rMean (bias of zero, %)          0.0296      0.0345      0.0216      0.0256
 Threshold (u=V/Vrms)             0.7991      0.6420      0.6867      0.6419 

Początkowy fragment pliku 5CM1.DAT z powyższego przykładu

???
    18    51    22     0   -12    -6
    32    45     0    -5
    41    48    29     1
    230108
    21    14    24
    47
     0
     0
$$$
        4096      2.0000000      0.2492778    38.5000        6668.51800
g32p7                           
***
      11      51      21      31
   0.36362   0.35695   0.35714   0.35865   0.35757   0.35251   0.34985   0.35309
   0.35306   0.35260   0.35706   0.35893   0.35882   0.35824   0.35899   0.36126
   0.35826   0.35242   0.35224   0.35630   0.35742   0.35759   0.35730   0.35232

    Gdy progi są nierówne

W pobieżnym przeglądzie dostępnej literatury przedmiotu nie znaleźliśmy żadnego śladu rozwiązania na odpowiedź cyfrowego autokorelatora na sygnał kwantowany nierównymi progami. Znane rozwiązania bazują na podejściu Hagena i Farleya, którzy jako pierwsi przedstawili rozwiązanie dla kwantowania trójpoziomowego. Podejście to korzysta z twierdzenia Price'a, które mówi, że w przypadku normalnego rozkładu p(x,y,ρ) dwóch skorelowanych zmiennych losowych, pochodna cząstkowa z wartości oczekiwanej dowolnej funkcji tych zmiennych g(x,y),

<g(x,y)> = ∞ ∫ –∞  ∞ ∫ –∞  g(x,y) p(x,y,ρ) dx dy       (10)

(gdzie <...> w praktyce oznacza uśrednianie), po współczynniku korelacji (tzn. po kowariancji ρ = <x y> – <x><y>) tych zmiennych jest równa wartości oczekiwanej z pochodznych cząstkowych tej funkcji:

(a)	(b)	(c)
Rys. 5:  Unormowany rozkład prawdopodobieństwa dwóch skorelowanych zmiennych losowych o współczynnikach korelacji (a) ρ = 0, (b) ρ = 0.6 i (c) ρ = 0.9. Płaszczyzna cięcia górnej części prawych rysunków znajduje się na wysokości maksimum lewego, tj. na wysokości 1/(2π) = 0.16.

Nasze rozwiązania mają postać:

Rys. 7:   Teoretyczna (otrzymana z całkowania numerycznego) funkcja korygująca ACF zmierzoną autokorelatorem TCfA (czarna krzywa) oraz odstępstwa (dziesięciokrotnie powiększone) od niej innych funkcji zaimplementowanych w programie AutoFFT. Wielkość r jest tutaj pomiarem z autokorelatora znormalizowanym do zliczeń w zerowym kanale.

Jak widać z tego rysunku, funkcja wyznaczona wcześniej dla idealizowanego przypadku optymalnych progów kwantowania (u₁ = u₂ = 0.6; krzywa niebieska) niewiele rózni się od tej bliższej stanowi faktycznemu korelatora TCfA (krzywa czerwona). Funkcja ta pokazana jest też w pełnej postaci (kółka na czarnej krzywej) i w tej skali na całej długości częściowo pokrywa się z krzywą integracji numerycznej dla nierównych progów (różniących się o 9 %).

Porównując różne funkcje z Rys. 7 warto też pamiętać, że w praktyce wielkość r poza kanałem zerowym (gdzie ma wartość 1) jest zwykle mała i mieści się głęboko w przedziale ±0.2. Ilustrują to dwa kolejne rysunki, gdzie nieznormalizowane pomiary (czyli ok. dwukrotnie mniejsze niż odpowiednie wartości r) niewiele przekraczają poziomy ±0.02. Jednakże, w przypadku próbkowania z częstością kilkakrotnie większą od częstości Nyquista (co czasem się robi ze względu na pewien zysk w czułości), sąsiednie próbki stają się silnie skorelowane, co znaczy, że współczynnik autokorelacji dla małych zapóźnień może wtedy nawet zbliżyć się do tego z kanału zerowego.

Rys. 8:   Cztery funkcje autokorelacji z serii 139 30-sekundowych skanów różnych źródeł w paśmie L (18 cm). Za widoczną bardzo silną (amplituda rzędu 0.001) i regularną strukturę w dalszych kanałach odpowiedzialne są zakłócenia. (Więcej szczegółów można zobaczyć po kliknięciu na obrazek.)

Rys. 9:   Wykres analogiczny do Rys. 8 ale z obserwacji w paśmie C (5 cm), w którym generalnie jest mniej zakłóceń. Dane zebrane z BBC2 (żółte punkty) wydają się wolne od silnych zakłóceń, dlatego przy wyznaczaniu progów kwantowania autokorelatora TCfA oparliśmy się na pomiarach z tego właśnie urządzenia. "Pod" tym rysunkiem można znaleźć powiększenie wykresu danych z samego BBC2.

Niektóre statystyki z pomiarów przedstawionych na Rys. 8 i 9 zawiera Tab. 2. Jedne i drugie wyniki świadczą, że (wbrew oczekiwaniom) pomiary bardzo silnie zależą od urządzenia. Pomiary 18-cm były wykonywane w paśmie o szerokości 1 MHz, a 5-cm – 2 MHz. Wszystkie BBC były nastrojone na te same częstości ale sygnał o innej polaryzacji (z innego odbiornika; LCP) doprowadzano do BBC1 i BBC3, a o innej do BBC2 i BBC4 (RCP). Może to źle świadczyć o sprawności samych konwerterów (BBC), ale też umniejsza wartość naszego wyznaczenia funkcji korekcji ACF – takiej samej dla wszystkich urządzeń.

Tabela 2:   Średnie zliczenia autokorelatora TCfA w kanale zerowym, ACF0, i w ostatnich 240 kanałach, ACF(240), oraz ich odpowiednie błędy (odchylenia standartowe), ±sigma, w obserwacjach z dni 18 (na fali 18 cm) i 23 stycznia 2008 (5 cm)

L-band (18 cm) C-band (5 cm) ACF0 ±sigma ACF(240) ±sigma ACF0 ±sigma ACF(240) ±sigma BBC1 0.46643 0.0026 0.000335 0.000023 0.42450 0.0014 0.000301 0.000009 BBC2 0.53064 0.0027 0.000269 0.000006 0.52326 0.0039 0.000348 0.000008 BBC3 0.49568 0.0025 0.000047 0.000075 0.49254 0.0013 0.000209 0.000024 BBC4 0.52875 0.0030 0.000257 0.000029 0.52307 0.0022 0.000257 0.000014 Mean 0.50538 0.0266 0.000227 0.000116 0.49084 0.0404 0.000278 0.000055

Wgląd w widma z poszczególnych BBC (Rys. 10 i 11) upewnia, że oprócz zrozumiałych różnic w kształtach pasm przenoszenia, na wykresach, gdzie powinniśmy widzieć prążki w tych samych kanałach (para krzywych o kolorach karmazynowym i jasnoniebieskim lub żółtym i jasnozielonym) pojawiają się także różne struktury (zakłócenia).

Rys. 10:  Uśrednione (ze 139 pomiarów ACF) widma z obserwacji na fali 18 cm w dniu 18 stycznia 2008 r. Pokazano tutaj dwie wersje każdego widma: jedno (wykreślne nieco grubszą linią niebieską) obliczone z korekcją ACF według zależności opracowanej dla optymalnego autokorelatora (z symetrycznymi progami) i nałożone na nie drugie (cińsza kreska w czterech różnych kolorach) obliczone z korekcją właściwą dla autokorelatora TCfA (z nieco różną wysokością progów kwantowania).

Rys. 11:   Taki sam wykres jak na Rys. 10, ale dla danych z obserwacji linii metanolu (5 cm). Więcej szczegółów środkowej części widma zawiera ten rysunek. Uważny czytelnik dostrzeże lustrzane odbicie tła tych widm względem Rys. 10, co wynika z z różnej wypadkowej wstęgi w tych dwóch obserwacjach (linię metanolu obserwowano w efektywnej górnej wstędze bocznej, zaś OH – w dolnej), gdy widma są prezentowane zawsze w funkcji rosnącej prędkości radialnej źródła. Astrofizyczne linie widmowe znajdują się w okolicach kanałów 1024 i 3072 i pochodzą od różnych radioźródeł (wypada dodać, że kolejne półminutowe obserwacje były wykonywane na częstościach różniących się o pół szerokości pasma (2048 kanałów), na przemian, ale do celów tego opracowania zostały potraktowane jednakowo, dlatego linie występują tutaj jednocześnie w dwóch miejscach).

Te same wyniki, tj. Rys. 10 i 11, zdają się też wskazywać, że chyba nieznaczące są różnice między widmami otrzymanymi przy wykorzystaniu opisanych tutaj funkcji korekcji ACF stosownej do symetrycznych progów kwantyzacji i niesymetrycznych. W istocie te dwie funkcje niewiele się różnią (Rys. 7). Dużo większe różnice pojawiają się między tymi widmami a podobnymi uzyskanymi z korekcją Van Vlecka (prosimy spojrzeć na ten rysunek). Mimo to, jak wynika z Rys. 12, linie widmowe nie doznają znaczących zniekształceń w swojej strukturze (pomijając skalę, którą wszakże można wykalibrować innymi metodami).

Rys. 12:   Jedno (pierwsze) z widm metanolu z serii obserwacji wykonanych dnia 18 stycznia 2008 r. w dwóch polaryzacjach wziętych z dwóch wybranych konwerterów wideo i uzyskanych z ACF poprawionych według dwóch różnych funkcji korekcji: Van Vlecka i trójpoziomowej dla niesymetrycznych progów kwantowania. Nominalne położenie linii widmowej (przy założeniu prędkości własnej źródła 38.5 km/s) to 1022 kanał (odstępy kanałów są równe 0.0220 km/s).

Można więc wnosić, że korekcja surowej funkcji autokorelacji (ACF) nie jest krytyczna dla naukowej wartości widm uzyskiwanych z autokorelatora TCfA. Wprawdzie przedstawione w tym dokumencie funkcje korygujące 3-poziomowe ACF mogłyby być dalej udoskonalane, ale nie należy stąd oczekiwać istotnej poprawy jakości końcowych widm.