Fragment książki: KM Borkowski, 1993, Radiowa interferometria
wielkobazowa (VLBI), UMK, Toruń (str. 55-57)

Wzór Van Vlecka (wyprowadzenie) Każdy z sygnałów x i y odebranych przez dwie anteny interferometru ma rozkład Gaussa. Jeśli są one częściowo skorelowane, to rozkład łącznego prawdopodobieństwa ma postać p(x,y) =  1  2πσxσy √ 1 – r2 exp [ – (x/σx)2 + (y/σy)2– 2r xy/(σxσy) 2(1 – r2) ] , gdzie r jest współczynnikiem korelacji, a σi są rozrzutami (dyspersjami) amplitud. Na wynik korelacji w technice VLBI przyjmuje się +1 jeśli oba sygnały mają taki sam znak, zaś –1 gdy są przeciwnego znaku. Prawdopodobieństwo, że sygnały mają ten sam znak wynosi P = P++ + P- - = 2P++ = 2 ∞ ∫ 0  ∞ ∫ 0  p(x,y)  dxdy =  1  π √ 1 – r2 ∞ ∫ 0  ∞ ∫ 0  exp [ ( x/σx )2  +  (y/σ)2  – 2r  xy/(σxσy) –2(1 – r2) ] dx σx dy σy = 1 π ∞ ∫ 0  ∞ ∫ 0  e–(x2 + y2 – 2r xy) /[2(1 – r2)] dx dy √ 1 – r2 . Jedną z całek, np. całkę po y, możemy przekształcić do prostszej postaci przez podstawienie z =   y – r x  √ 1 – r2       i       dy = √   1 – r2   dz. Oczywiście, dolna granica całki po z wynosi teraz z = (0 – r x)/√{1 – r2}, co jest równaniem prostej na płaszczyźnie (xz), leżącej pod kątem Θo = –arctan(r/√{1 – r2}) = –arcsin r względem osi x. Mamy zatem P = 1 π ∞ ∫ 0  ∞ ∫ –r x/√{1 – r2}  e–(x2 + z2)/2 dzdx. Przekształcenie x = ρcosΘ, z = ρsinΘ (którego jakobian wynosi ρ) prowadzi do ostatecznego rozwiązania: P = 1 π ∞ ∫ 0  π/2 ∫ Θo  e–ρ2/2ρ  dρdΘ = 1 π π/2 ∫ –arcsin r  dΘ ∞ ∫ 0  e–ρ2/2 d(ρ2/2) = 1 2 + arcsin r π . Nietrudno zauważyć, iż prawdopodobieństwo, że sygnały mają różne znaki wynosi P′ = 1 – P = 0,5 – (1/π) arcsin r. W korelatorze VLBI oblicza się wartość średnią z różnicy ilości przypadków zgodnych znaków sygnałów i znaków przeciwnych. Wartość oczekiwana wyniku korelacji wynosi zatem P – P′ = 2 π arcsin r, co jest istotą wzoru (1.28).

Tak drastyczne zniekształcenie oznacza m.in., że całkowicie traci się informację o amplitudzie sygnału (!). Niemniej, można stąd odzyskać większość informacji o współczynniku korelacji. Mianowicie, jak pokazał Van Vleck (Van Vleck i Middleton 1966; zob. też Thomas 1969, Hagen i Farley 1973, Marecki 1980), zachodzi: