Wzór Van Vlecka (wyprowadzenie)
Każdy z sygnałów x i y odebranych przez dwie anteny interferometru
ma rozkład Gaussa. Jeśli są one częściowo skorelowane, to
rozkład łącznego prawdopodobieństwa ma postać
p(x,y) = | 1
|
exp | [ |
– |
(x/σx)2 + (y/σy)2– 2r xy/(σxσy)
2(1 –
r2)
| ] |
, |
|
gdzie r jest współczynnikiem korelacji, a σi są rozrzutami
(dyspersjami) amplitud. Na wynik korelacji w technice VLBI przyjmuje się
+1 jeśli oba sygnały mają taki sam znak, zaś –1 gdy są przeciwnego
znaku. Prawdopodobieństwo, że sygnały mają ten sam znak wynosi
P = P++ + P- - = 2P++ = 2 |
∞ ∫ 0
|
|
∞ ∫ 0
|
p(x,y) dxdy |
| |
| |
|
| 1
|
|
∞ ∫ 0
|
|
∞ ∫ 0
|
exp | [ |
|
| ( |
x/σx
| )2 |
+ | (y/σ)2 | – 2r |
xy/(σxσy) |
–2(1
– r2)
|
] |
|
dx
σx
|
|
dy
σy
|
|
| |
| |
|
|
1
π
|
|
∞ ∫ 0
|
|
∞ ∫ 0
|
e–(x2
+ y2 – 2r xy) /[2(1 –
r2)] |
dx dy
| . |
| |
|
Jedną z całek, np. całkę po y, możemy przekształcić do
prostszej postaci przez podstawienie
z = |
y – r x
|
i dy = | √
|
1 – r2
|
dz. |
|
Oczywiście, dolna granica całki po z wynosi teraz
z = (0 – r x)/√{1 – r2}, co jest równaniem prostej
na płaszczyźnie (xz), leżącej pod kątem Θo
= –arctan(r/√{1 – r2}) = –arcsin r
względem osi x. Mamy zatem
P = |
1
π
|
|
∞ ∫ 0
|
|
∞ ∫ –r
x/√{1 –
r2}
|
e–(x2
+ z2)/2 dzdx. |
|
Przekształcenie x = ρcosΘ,
z = ρsinΘ
(którego jakobian wynosi ρ) prowadzi do ostatecznego
rozwiązania:
P = |
1
π
|
|
∞ ∫ 0
|
|
π/2 ∫ Θo
|
e–ρ2/2ρ dρdΘ
= | 1
π
|
|
π/2 ∫ –arcsin
r
|
dΘ |
∞ ∫ 0
|
e–ρ2/2
d(ρ2/2) |
|
Nietrudno zauważyć, iż prawdopodobieństwo, że sygnały mają
różne znaki wynosi P′ = 1 – P = 0,5 –
(1/π) arcsin r. W korelatorze VLBI
oblicza się wartość średnią z różnicy ilości przypadków
zgodnych znaków sygnałów i znaków przeciwnych. Wartość
oczekiwana wyniku korelacji wynosi zatem
co jest istotą wzoru (1.28). |