Wyprowadzenie wzoru na powierzchnię
hiperbolicznego subreflektora


This file presents a derivation of the formula for the area of hiperboloidal surface applicable to the Cassegrain type telescopes. I decided to make it public because apparently there does not exist anything similar in the scientific literature available. Although this is a text in Polish, an English reader should be able to follow the derivation by inspecting mathematical formulae alone. This figure may be helpful in guessing the meaning of variables involved, which are pretty standard; these are the same (except for the sign of the z-variable, that however is inconsequential for this analysis) as in the English version of the table containing the formula. The right side of the equation (3) or (4) below is equivalent to the formula in question, originally published years ago and tested against numerical integration according to the equation (1).

Do dziś (początek 2003 r.) w literaturze nie spotkałem odpowiednika wzoru na powierzchnię hiperboloidalnego lustra podanego w mojej pracy opublikowanej w Postępach Astronomii w 1986 r. Pożyteczne może więc być przedstawienie pełnego wyprowadzenia tego, jak się wydaje, oryginalnego rozwiązania.

Długość infinitezymalnego elementu krzywej wynosi w ogólności

dl =
√
(dz/dθ)2 + (dr/dθ)2

dθ.

Dla hiperboli z Rys. 1 w publikacji przyjęto z = –p cosθ/(1 + εcosθ), r = p sinθ/(1 + εcosθ), co oznacza, że:
dz
dθ
 = p sinθ
(1 + εcosθ)2
 ,

dr
dθ
 = p(ε + cosθ)
(1 + εcosθ)2
 ,
w których p = (c2 – a2)/a (parametr ogniskowy hiperboli), zaś ε = c/a (mimośród hiperboli). Jest więc:
dl =  p
(1 + εcosθ)2
√
 
1 + ε2 + 2εcosθ
 
 dθ.
Infinitezymalny element powierzchni hiperboloidy obrotowej wynosi: dS = dl 2πr = 2πpsinθ/(1 + εcosθ)dl, zatem całą powierzchnię lustra subreflektora otrzymamy całkując ten element po θ od zera do θo = 2arctg[D/(4f)]:
S = 2πp2∫ θo

0

√
1 + ε2 + 2εcosθ
(1 + εcosθ)3
 		 sinθdθ.
(1)
Podstawiając w tym wyrażeniu x = 1 + εcosθ redukujemy je do prostszej postaci:
S = 2πp2
–ε√a		∫ x1

xo
√
 
2ax + p
 
 1
x3
 dx
gdzie xo = 1 + ε oraz x1 = 1 + εcosθo = 1 + ε(f – H)/(f + H). Rozwiązaniem tej całki jest
S = π
√
c2 – a2
c
 		 [  √p
x
√
 
2ax + p
 
 ( p
x		  + a)  + a2 ln

√
2ax + p
– √ p 
√
2ax + p
 
 + √p
]|
x1

xo
.
(2)
Po podstawieniu granic i uproszczeniu dostajemy ostatecznie:
 S = πsinα[ (ρ + a)
√
 
ρ(ρ + 2a)
 
 – c2sinα – 2a2ln

√
ρ + 2a

+
√
ρ
√
c + a
+ 		√
c – a
 ] ,
(3)
gdzie sinα = √(c2 – a2)/c, zaś ρ = d/(2sinθo) = p/(1 + εcosθo) jest odległością brzegu subreflektora od ogniska pierwotnego. Kładąc w ostatnim wzorze R = ρ/a możemy go jeszcze nieco uprościć:
 S = πa2sinα[ (R + 1)
√
 
R(R + 2)
 
 – 2ln

√
R + 2

+
√
R
√
ε + 1
+ 		√
ε – 1
 ] – πap.
(4)
Mimo dość usilnych starań, nie udało mi się, niestety, dalej tego wzoru uprościć.

Rozwiązanie na powierzchnię hiperboloidu w postaci (3) lub (4) jest równoważne wzorowi podanemu w Tabeli 1. Poprawność powyższych rozwiązań analitycznych sprawdziłem na przykładzie 32-metrowego radioteleskopu przez porównanie wyników obliczeń z całkowaniem numerycznym prawej strony wzoru (1).

— KMB    

File translated from TEX by TTH, version 3.30 on 26 Jan 2003.